İkinci dünya savaşında Almanya’nın Müttefik devletlere karşı askeri başarılarının en önemli sebeplerinden biri tankları kullanma tarzları olmuştu. O zamana kadar piyadelere destek aracı olarak görülen tankları almanlar ayrı tümenler halinde organize etmiş ve düşman hatlarını belirli bir ağırlık merkezinden (Schwerpunkt) yarmak için kullanmışlardı. Batıda yıldırım savaşları (Blitzkrieg) olarak adlandırılan bu askeri stratejiyi Almanya propaganda amacı olarak da kullanmıştı. Konumuz bu olmayacak fakat tarihsel olarak merak eden varsa wiki’de fazlasıyla kaynak ve açıklama var. Blitzkrieg olarak arayınca zaten çıkıyor, bu doktrinin Almanya’daki babası Heinz Guderian, kendisine çöl tilkisi ünvanını kazandıracak kadar bu taktikleri Afrika’da başarıyla uygulayan bir alman savaş kahramanı da Erwin Rommel.
Bizim ilgileneceğimiz noktaysa İngilizlerin Almanların tank üretimini öğrenme çabaları. Yukarıda vurguladığım gibi tanklar çok önemliydi ve İngilizler Almanların ayda kaç tank ürettiğini bilmiyordu. Fakat savaş alanında ellerine geçen tanklarda bir seri numarası olduğunu keşfettiler, ve bu seri numarasından kaç tank olduğunu tahmin etmek istediler.
İngilizlerin yerine kendimizi koyarak problemimizi şöyle ifade edelim: Almanlar her ay N tane tank üretsin, ve her tanka 1’den başlayıp N’ye kadar giden bir seri numarası yazsın. Eğer savaş alanında k tane tank ele geçirirsek, bu ele geçirdiğimiz tankların seri numaralarına bakarak N hakkında ne söyleyebiliriz?
Bir örnekle soruyu açayım. 1943 Temmuz’unda olduğumuzu varsayalım, tarihin gelmiş geçmiş en büyük tank savaşlarından Prohorovka Muharebesi yeni bitmiş ve Ruslar savaş alanında 4 tane alman tankı ele geçirmiş olsunlar, tankların seri numaraları da 72, 182, 236, 8 olsun. Almanlar savaşa muhtemelen kaç tank ile girmişlerdir?
Soruyu soruş şeklim yanıltmasın: İngilizler kaç tane tank üretildi Ruslarsa kaç tank ile savaşa girildi diye soruyor ama matematiksel olarak soru aynı: 1’den N’e kadar sıralı bir setten k tane elemanı biliyorsam N’yi nasıl tahmin edebilirim?
Literatürde bu soru "Alman tank problemi" olarak biliniyor, ve istatistik bu problemi şöyle cevaplıyor: Eğer bildiğim k elemandan en büyüğü m ise, N yaklaşık m+(m/k)-1 kadardır (N’nin k’dan yeteri kadar büyük olması lazım). Yani yukarıdaki örneğimizde Rus’lar Alman’ların savaşa yaklaşık 236+(236/4)-1=294 tank ile girdiğini varsayabilir (Gerçekte de 294 bu arada).
Cevap biraz fazla basit olduğu için ilk başta güven duymayabilirsiniz. Elbette İngilizler de kalkıp üç beş matematikçiye güvenip işi salacak değillerdi, o yüzden istihbarat teşkilatını kullanıp Almanların tank üretimini bulmaya çalıştılar. Örneğin 1940 Haziranı, 1941 Temmuzu ve 1942 Ağustosu için İngiliz istihbaratı Almanların sırasıyla yaklaşık 1000, 1550 ve 1550 tank üretimi olduğunu belirtti. Yukarıdaki hesaba göreyse bu aylar için üretim sırasıyla 169, 244 ve 327 olmalıydı. Savaş bittikten sonra Almanların üretim kayıtlarına baktıklarında şu rakamları gördüler: 122, 271, 342.
Bu problem ve cevabın açıklaması ile ilgili detaylar için wiki’ye bakabilirsiniz.1 Bir de ben sadece olasılığın sıklıkçı yorumu ile verilen cevaptan bahsettim, bir de Bayesian yorumu ile bu soru çözülebiliyor. Bu durumda N için bir olasılık dağılımı (PDF) elde ediyoruz. Bilmeyenler bayesian vs frequentist diye google’da aratabilir, çok sık anlatılan bir şey.