10.1 Projektif geometri

Projective geometry (sanırım türkçe tasarı geometri olarak geçiyor) geometrinin izdüşümlerle ilgilenen alanı. Eğer kafanızda geometrik bir soru varsa ve bu soru uzunluklardan bağımsız ise muhtemelen cevabını projektif geometri veriyordur: örneğin iki doğrunun paralel olup olmadıklarının, ya da üç boyutta iki düzlemin kesişiminden oluşan doğrunun bi noktadan geçip geçmediği projective geometri ile çözersiniz.

Aşağıda projektif geometrinin aslında niçin önemli olduğundan biraz bahsettim. Okullarda bilim ve matematik öğretimi üzerine makalelerin basıldığı School Science and Mathematics dergisinin 1928 baskısında¹ projective geometrinin liselerde öğretilmesinin gerekliliği savunuluyor, uygulayan ülkeler de var sanırım. 

Ekteki video’da Nima Arkani Hamed’in 11 saatlik konuşması var (tek parça değil elbette ).Konuşmasının 56. dakikasından itibaren 1 saat projektif geometri anlatıyor, çok güzel ve yalın anlatıyor: lise bilgisiyle izleyip anlamak mümkün, vakit bulduğunda herkese tavsiye ederim!

Projective geometrinin modern fizikte ve matematikte bir çok uygulaması var, ben de aslında conformal simetrinin projective olarak bir uzaya gömülmesi üzerinden öğrendim (böyle deyince havalı bi şey gibi durdu ama baya temel bir şey aslında). Fakat ben çok daha temel bir konu üzerinden önemini örneklendirmek istiyorum.

Bugün klasik fizikte fermiyonları kullanmıyor da kuantum fiziği yapmaya kalktığımızda varlıklarına ihtiyaç duyuyorsak, bunun sebebi aslında kuantum fiziğinin projective olmasıdır!

Demeye çalıştığım şeyi bir tık açayım. Klasik fizikte, bir sistemin ya da objenin durumunu konumuna ve hızına (momentumuna) bakarak anlarız. Alınabilecek bütün konumlardan ve momentumlardan hayali bir uzay üretecek olsaydık da, sistemimiz bu uzayda bir noktaya karşılık gelirdi. Bu uzaya faz uzayı (phase space) deniyor.

Kuantum mekaniğine geldiğimizdeyse aynı anda konumu ve hızı ölçemediğimiz için faz uzayı geçerliliğini yitiriyor. Onun yerine sistemleri başka bir hayali uzaya oturtuyoruz, bu uzaya Hilbert uzayı deniyor. Ve fakat sistemimiz Hilbert uzayında bir noktaya değil bir ışına karşılık geliyor! Daha doğrusu aynı ışın üzerindeki sonsuz farklı nokta aslında aynı sistemi tasvir ediyor: kuantum mekaniksel sistemler "projective Hilbert uzayında" gösterilirler.

Buraya kadar çok da matah bir şey gibi durmayabilir: Ha noktayla göstermişiz ha ışınla diyebilirsiniz  Fakat şöyle de bir gerçek var. Eğer sistemimizde bir simetri varsa, Hilbert uzayının projective olmasından dolayı bu simetriyi de projective ifade etmemiz lazım. Kuantum fiziği olasılıksal çalıştığı için her zaman toplam olasılığı korumamız da lazım (bütün olasılıkların toplamı 1 olmazsa bir yanlış yapıyoruz demektir). Bu şartları sağlayabilmemiz için de, sistemimizdeki simetrilerin "projective unitary representation"larını kullanmamız gerekiyor!.

Şimdi grup teori bilmeyen bir insan bu ifadeden bir şey anlamayacaktır. Bilen ve ilgilenen olursa yorumlarda daha detaylı konuşuruz, bilmeyenleri sıkmamak için hızlıca bunun ne anlama geldiğini söyleyip geçeyim: Elimizde bir simetri varsa ve biz bu simetriyi projective unitary represent etmek istiyorsak, bunun eşdeğeri olarak simetri grubunun genişletmemiz gerekmektedir.

Boş bir uzayda bir sistemi hayal ettiğimizde bu sistemin dönme simetrisi vardır; öyle ya, bomboş uzayda bir sistemi sağa sola çevirseniz hiçbir şeyin değişmemesi lazım. Bu dönme simetrisi klasik fizikte de var, matematiksel olarak SO grubu deniyor. Biz onları skaler ve vektör laflarından tanıyoruz: örneğin elektrik alanı vektörünü kullanıyorsak bunun sebebi o nesnenin dönme grubunun bir elemanı olmasıdır. Fakat yukarıda projective düşünmenin eşdeğeri grubu genişletmek demiştik; dönme grubunun genişletilmiş hali de Spin grubu. Spin grubunda da SO grubunda olduğu gibi skalerler vektörler var, fakat SO grubunda olmayan başka nesneler de var. İşte tam olarak da bu başka nesneler bizim fermiyonları tasvir etmemizi sağlıyor (örneğin elektronu). Bir başka deyişle, kuantum fiziği sayesinde fermiyonları açıklayabilmemizin temel sebebi Hilbert uzayının projective geometri ile kullanılmasının gerekmesi. Bu açıklamaları aslında çok daha genel bir şekilde şu soruda ve cevabında bulabilirsiniz.²

Yukarıda bahsettiğim makalede yazıyor, ilk projektif geometri kitabı Eugene Catalan tarafından 1866’da yazılmış. 2019 yılına geldik, fakat ben henüz Türkçe benzer bir kitap yazıldığına şüpheliyim. Google’da aratınca bir sürü tasarı geometri kitabı çıkıyor, fakat anladığım kadarıyla temel matematik kitabı olarak değil de mimarlık ve endüstri ürünleri tasarımı gibi bölümler için hazırlanmışlar. Umarım yanılıyorumdur ya da en kısa sürede bu eksiğimiz düzgün bir şekilde kapatılır.