Fibonacci dizisini ve altın oranı hemen hemen herkes duymuştur. Peki Pell dizisini ve gümüş oranı duydunuz mu?
Önce hatırlayalım: Fibonacci dizisi ilk iki terimi 1 olan, sonraki terimlerin de ikili ikili toplandığı dizi: 1-1-2-3-5-8-13-21 diye gider. (2=1+1, 3=2+1, 5=3+2)
Fibonacci serisinde ardışık sayıların oranları da bir dizi oluşturur: 1/1 - 2/1 - 3/2 - 5/3 - 8/5 - 13/8 - 21/13 diye gider. Bu diziyi incelerseniz bu oranların 1.6 civarında dolaştığını görürsünüz, 5. orandan itibaren 1.61 civarında değerler okuruz, 15. orandan itibaren de 1.618 civarına sabitlenir. Bu orana da altın oran denir.
Pell rakamları da benzer bir dizidir, hatta Fibonacci dizisinin kardeşi bile diyebiliriz. İlk iki terimimiz 0 ve 1’dir, her terimde de önceki iki terimi toplarız, ama büyük terimi iki defa sayarız. Yani dizi 0-1-2-5-12-29-70 diye gider. (5=2+2+1, 12=5+5+2, 29=12+12+5).
Bu dizinin terimlerinin oranından da bir dizi oluşturabiliriz: 2/1 - 5/2 - 12/5 - 29/12 - 70/29 diye gider. Eğer bu terimlere bakarsanız, dizinin 6-7 oran sonra 2.414 civarına sabitlendiğini görürsünüz. Bu orana da gümüş oran denir.
Bize çok özel ve ilgi çekici gelse de bu oranlar aslında matematiksel denklemlerin sonuçlarıdır, çok da özel anlam yüklemeye gerek yok Altın oran aslında kare kök 5 i taşımaktadır, gümüş oran da karekök 2’yi. Benzer şekilde karekök 3, karekök 13 gibi başka rakamları da içeren özel sayılar vardır.
Matematik bilgim yetmediği için daha ötesine yorum yapmayacağım fakat şunu da not düşeyim: Altın oran da gümüş oran da yukarda bahsettiğim benzer sayılar da "Pisot rakamı" örnekleridirler, benzer başka rakamlar da var yani. Pisot rakamlarını inceleyen biri, hele bir matematikçi, bu rakamlar arasında bir sürü özel ilişkiyi görebilir, bu rakamlara bir çok anlam atfedebilir. Fakat geri kalan bizler için hikaye yukarda yazdığımdan ibaret
Yazdıklarım genel bilinir şeyler, wikipedia’da detaylı da anlatılıyor; örneğin Gümüş oran ve Pisot rakamları: https://en.wikipedia.org/wiki/Silver_ratio, https://en.wikipedia.org/wiki/PisotâĂŞVijayaraghavan_number